Antrian dengan Prioritas atau Antrian seri (tandem)

A.    Antrian dengan Prioritas Pelayanan

I.                Pengertian Sistem Antrian dengan Prioritas Pelayanan 

Dalam model-model antrian dengan prioritas, diasumsikan bahwa beberapa antrian yang paralel dibentuk di depan sebuah sarana pelayanan dengan setiap antrian diperuntukkan bagi para pelanggan dengan prioritas tertentu. Jika sarana tersebut memiliki m antrian, kita mengasumsikan bahwa antrian 1 memiliki prioritas pelayanan tertinggi, dan antrian m adalah untuk para pelanggan dengan prioritas terendah. Laju kedatangan dan pelayanan dapat bervariasi untuk antrian dengan prioritas berbeda.

Pada tingkat kedatangan dapat ditentukan bahwa setiap pelanggan yang berada dalam antrian harus dilayani berdasarkan ”yang pertama datang, juga pertama dilayani” (FCFS). Dalam prioritas pelayanan terdapat dua peraturan yang dapat diikuti, yaitu: 

a.  Peraturan  Preemptive Menunjukkan dimana pelayanan pelanggan dengan prioritas lebih rendah dapat diinterupsi demi seorang pelanggan yang baru tiba dan memiliki prioritas yang lebih tinggi. 

b.  Peraturan Non-Preemptive (NP) Menunjukkan pelayanan dimana seorang pelanggan, begitu dilayani, hanya akan meninggalkan sarana pelayanan tersebut setelah pelayanan diselesaikan dan tanpa bergantung pada prioritas para  pelanggan yang baru tiba. 

   Aturan preemptive umumnya tidak menguraikan sistem antriannya secara mendalam, sedangkan pada sistem antrian non-preemptive diuraikan melalui pelayanan tunggal dan pelayanan majemuk.

     Pada model pelayanan tunggal dapat ditentukan untuk menggunakan distribusi Poisson sebagai tingkat kedatangan pada sistem antrian, sementara pelayanan menggunakan distribusi bebas (arbitrary distribution).
     Pada kasus pelayanan majemuk sudah ditentukan bahwa kedatangan dan pelayanan mengikuti distribusi Poisson.

     Bagian ini tidak akan membahas kasus preemtif. Dua model premtif yang dapat diterapkan untuk pelayar : tunggal dan berganda disajikan. Model pelayan tunggal mengasumsikan kedatangan Poisson dan distribusi pelayanan sembarang. Dalam kasus pelayan berganda, baik kedatangan maupun keberangkatan mengikuti distribusi Poisson. Symbol NPRP digunakan dengan notasi Kendall untuk menunjukkan peraturan nonpreemtif; Mt dan Gt berarti distribusi Poisson dan distribusi sembarang.

II.             Pelayanan Tunggal Non Preemptive (M_i/G_i/1) : (NPD/~/~)

    Pada aturan non-preemptive, pelayanan seorang pelanggan tidak dapat diinterupsi. Setelah masing-masing pelayanan diselesaikan, pelanggan berikutnya dipilih untuk memasuki pelayanan dengan mengutamakan pelanggan dengan nomor antrian terkecil (dengan tiap prioritas dipilih berdasarkan FCFS). Sebagai contoh, jika terdapat dengan tiga tipe 2 dan empat tipe 3, pelanggan berikutnya yang memasuki pelayanan merupakan pelanggan tipe 2 yang datang pertama pada tipe kedatangan tersebut. Pelayanan tunggal dengan aturan non-preemptive dikenal dengan symbol (M_i/G_i/1) : (NPD/~/~) . Model pelayanan ini mengikuti sistem pelayanan dengan distribusi bebas.

    Dinyatakan sebagai fungsi kumulatif dari distribusi bebas pada waktu pelayanan pada antrian ke-i untuk i = 1, 2, ..., m.

    Bila rata-rata (mean) = , dengan var_i (t) sebagai varian dan merupakan tingkat kedatangan dari antrian ke-i per unit waktu, maka juga akan terdapat antrian dalam rangkaian sistem antrian tersebut. Perumusan yang diuraikan dalam sistem antrian pada umumnya dinyatakan sebagai berikut : 

                           

Contoh Soal :

Pekerjaan – pekerjaan tiba disebuah sarana produksi dalam tiga kategori : Pesanan Kilat, Pesanan Biasa, dan Pesanan Prioritas Rendah. Walaupun pesanan kilat diproses sebelum setiap pekerjaan lainnya dan pekerjaan biasa didahulukan dibandingkan pesanan prioritas rendah, setiap pekerjaan, begitu dimulai, harus diselesaikan sebelum sebuah pekerjaan baru dimulai. Kedatangan pesanaan dari ketiga kategori tersebut bersifat Poisson dengan mean 4, 3, dan 1 Per hari. Laju Pelayanan adalah konstan dan sama dengan 10, 9, dan 5 Per hari. Tentukan :

a.       Waktu menunggu yang diperkirakan dalam setiap antrian ?

b.  Waktu menunggu keseluruhan yang diperkirakan untuk setiap pelanggan tanpa bergantung Pada Prioritas ?

c.    Jumlah Pekerjaan Rata-Rata yang menunggu untuk diproses dalam antrian ?

     Jawaban :

B.    Antrian Tandem atau Serial 

I.               Pengertian Antrian Tandem atau Serial 

Bagian ini mempertimbangkan antrian Poisson dengan beberapa stasiun pelayanan yang diatur secara serial sehingga seorang pelanggan harus melalui semua stasiun tersebut sebelum menyelesaikan pelayanan. Kami pertama-tama menyajikan satu kasus sederhana dengan dua stasiun serial dimana antrian tidak diijinkan. Selanjutnya, kami menyajikan satu hasil penting untuk antrian Poisson serial tanpa batasan antrian. 

II.              Model Serial Dua Stasiun Dengan Kapasitas Antrian Nol

Sebagai contoh analisis antrial dalam serial, pertimbangkan sistem antrian satu jalur yang disederhanakan dan terdiri dari dua stasiun pelayanan seperti diperlihatkan dalam Gambar dibawah ini. Seorang pelanggan yang tiba untuk pelayanan harus melalui

            

Contoh Soal :

Sebuah Jalur Perakitan dengan dua stasiun dioperasikan dengan sistem ban berjalan. Ukuran produk yang dirakit tidak memungkinakn penyimpanan lebih satu unit dalam setiap Stasiun. Produk tiba ke jalur perakitan tersebut dari satu sarana produksi lain sesuai distribusi Poisson dengan mean 10 per jam. Waktu perakitan di stasiun 1 dan 2 adalah eksponensial dengan mean 5 menit masing-masing. Semua barang yang tiba dan tidak dapat langsung dimasukkan ke dalam jalur perakitan tersebut dialihkan ke jalur-jalur perakitan lainnya. Tentukan :

a.        Tingkat kegunaan (Utility/U)

b.        Probabilitas bahwa sebuah barang yang tiba akan masuk ke stasiun 1

c.         Laju kedatangan efektif

d.        Jumlah yang diperkirakan dalam Sistem

e.         Waktu menunggu yang diperkirakan dalam Sistem

                                                 

III.            Model Serial K Stasiun Dengan Kapasitas Antrian Tak Hingga 

      Menurut Taha  (1997)  suatu  sajian teorema tanpa  bukti  yang dapat diterapkan dalam serial k stasiun mempertimbangkan sistem dengan k stasiun dalam serial, seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. 

                    

      Asumsikan bahwa kedatangan di stasiun 1 dihasilkan oleh satu satu populasi tak hingga sesuai dengan distribusi poisson dengan laju kedatangan rata-rata λ. Unit-unit yang dilayani akan bergerak berurutan dari satu sasiun ke stasiun berikutnya sampai dikeluarkan di stasiun k.

 Dalam kondisi ini, dapat dibuktikan bahwa, untuk semua i, keluaran dari stasiun i (atau, dengan kata lain, masukan ke stasiun i + 1) bersifat Poisson dengan nilai mean l dan bahwa setiap stasiun dapat diperlakukan secara independen sebagai (M/M_i/1) : (GD/~/~). Ini berarti bahwa untuk stasiun ke-i, probabilitas steady-State ppvnipv diketahui                


                       
 Untuk i = 1, 2, ..., k, dimana nt adalah jumlah dalam sistem yang hanya terdiri dari stasiun i. Hasil steady-state akan terjadi hanya jika  p = l/m_i < 1_i. Dalam kasus ini, setiap stasiun seri dapat diperlakukan secara independen sebagai (M/M_i/c_i) : (GD/~/~) dengan laju kedatangan rata-rata . Sekali lagi, Hasil Steady-state akan berlaku hanya  jika l < c_im_i, untuk i = 1, 2, ...,k.

Contoh Soal : 
Dalam sebuah jalur produksi dengan lima stasiun serial, pekerjaan tiba distasiun 1 sesuai distribusi Poisson dengan nilai mean l = 20 Per jam. Waktu produksi disetiap stasiun adalah eksponensial dengan mean 2 menit. Keluaran dari stasiun i dipergunakan sebagai masukan untuk stasiun i + 1. Barang-barang yang baik yang diproduksi distasiun i dihitung sebagai  dari masukan total ke stasiun yang sama. Barang-barang sisanya, (1- α_i), adalah cacat dan dibuang sebagai barang sisa.

     Anggaplah bahwa kita berminat untuk menentukan Ukuran ruang penyimpanan diantara stasiun-stasiun yang berturut-turut yang akan dapat menampung semua barang yang masuk dengan 100 β  Persen. Probabilitas  P_ni  dari n_i barang dalam stasiun I diketahui. 

Dimana l / m_i. Jadi kebutuhan penyimpanan dipenuhi jika ruang penyimpanan untuk stasiun i menampung N_i = i barang, dimana N_i ditentukan dari 

      

DAFTAR PUSTAKA

Kakiay, T.J. 2004. Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata. Yogyakarta : Andi.

Mulyono, S. 2004. Riset Operasi. Jakarta : UI-Press.

Subagyo, P. 1984. Dasar-Dasar Operation Research. BPFE. Yogyakarta.

Supranto, J. 1988. Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta : UI-Press.

Taha, H.A., 1996, Riset Operasi Jilid 2, Binarupa Aksara, Jakarta.

Wospakrik, H. 1996. Teori dan Soal-Soal Operations Research. Bandung : Erlangga.